Le paradoxe de Simpson : un mystère des stats dévoilé

• 04 mai 2016
• petiteglise
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Pourquoi on peut être meilleur en Omaha et avoir un meilleur hourly rate en Holdem, et pourquoi il y a une corrélation positive entre le nombre de joints fumés et les gains en MTT…

Holdem ou Omaha ?

Prenons l’exemple fictif de Bart, joueur de Omaha et Holdem. Il joue régulièrement aux deux variantes et, pour simplifier l’exemple, on suppose qu’il ne multi table jamais. Bart se sent meilleur en Omaha et décide de le vérifier, chiffres à l’appui. Il regarde ses stats et constate avec surprise qu’il a gagné 1200€ en Omaha pour 1000h de jeu soit 1.2€/h et 1700€ en Holdem pour aussi 1000h de jeu, soit 1.7€/h.
Bart était persuadé d’être meilleur en Omaha, mais les chiffres semblent lui donner tort… mystère.

Cannabis et MTT

Bart joue également en MTT. En outre, il se trouve fumer régulièrement du cannabis, parfois il passe la soirée sans fumer, mais peut aller jusqu’à 5 joints dans une session. Il se doute que sa consommation impacte négativement son niveau de jeu. Il décide donc de noter pour chaque MTT, le nombre de joints qu’il a fumé et ses éventuels gains. Stupeur, la corrélation parait clairement positive : plus il fume, plus il gagne d’argent ! Encore un mystère...

NB : je n'ai pas mis d'échelle pour les gains pour simplifier cet exemple qui se veut uniquement théorique, mais vous pouvez l'imaginer suivre la répartition classique d'un prizepool.

Le paradoxe de Simpson.

Comme on l’a vu plus haut, Bart a un meilleur hourly winrate en Holdem qu’en Omaha. Comme il joue exclusivement sur des tables à 50 et 100€, il décide de regarder son winrate pour chacune de ces limites.

On a bien :
Hourly winrate Omaha : 1200/1000 = 1.2 €/h
Hourly winrate Holdem : 1700/1000 = 1.7 €/h

Sur les tables à 50, comme sur les tables à 100, Bart a un meilleur hourly rate en Omaha. Pourtant, au total, son hourly rate est plus grand en Holdem…

C’est un exemple du paradoxe de Simpson, qui, contrairement à ce qu’à pu laisser suggérer l’article, doit son nom au mathématicien Edward Simpson, et non pas à la célèbre série.

Le paradoxe s’explique par ce qu’on appelle un facteur de confusion, c’est à dire une variable qui joue et sur la cause et sur l’effet. Ici, la cause est le choix de la variante (Omaha ou Holdem), l’effet est le winrate et le facteur de confusion la limite (50 ou 100).

Bart a de très bons résultats sur les tables à 50 et des résultats juste corrects sur les tables à 100. D’un point de vue purement financier, il devrait jouer uniquement sur les tables à 50. Il est effectivement meilleur en Omaha, mais comme il s'y sent meilleur, quand il joue en Omaha, il fait souvent l’erreur de jouer sur les tables à 100, où il gagne moins.

Pour l’exemple du cannabis, le facteur de confusion devrait être évident : il s’agit de la durée de jeu avant élimination. Plus le tournoi dure longtemps, plus on gagne d’argent. Et plus le tournoi dure longtemps, plus un fumeur fume. En particulier, on peut supposer que Bart s'octroie des joints en récompense, par exemple pour avoir passé la bulle, pour être arrivé en TF ou au HU final. Ainsi, même si l’intuition de Bart est bonne et que sa consommation de cannabis nuit à son niveau jeu, il est normal de trouver une corrélation positive entre le nombre de joints fumés et les euros gagnés.