Les maths au poker : Les petites paires en pot 3bet (La théorie)

07 juin 2022
florian99p99
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Florian, le mathématicien du forum, vous propose d'étudier le jeu théorique des petites paires dans les pots 3bet. Dans cette première partie, l'académicien introduira le concept, puis vous parlera de la partie théorique.

Introduction

Dans ce nouvel article, laissez mois vous parler des weak paires en pot 3 bet.

C’est un sujet complexe, donc je ne vais pas pouvoir couvrir toutes les lignes, ni même toutes les streets, au risque d'apporter des simplifications qui n'expliquent pas l’équilibre du jeu, et donc qui sont moins efficaces pour en dévier afin d’exploiter.

Nous allons étudier 3 spots (un seul présent dans cette première partie) :

Un spot théorique où j'aborde le concept du bet pour protection avec des mains qui ne value pas grand-chose et qui ont de la showdown value,
Un spot où j’essaie d’expliquer les explos contre des joueurs à range de bet trop weak pair oriented (2ème partie)
Et un troisième spot avec divers concepts. (2ème partie)

Les 2 premiers spots commenceront au turn, dans un pot 3 bet où OOP est l’agresseur pré flop, et où le flop est bet call ensuite OOP check turn.

Nous aborderons aussi le jeu river, le dernier sera un spot où vilain XX flop, et X turn.

J’ai préféré me concentrer sur le jeu turn, car le flop est une street assez facile à jouer en théorie. Tous les spots sont 100 BB deep. À noter que tous les concepts pourront bien évidemment être extrapolés pour du single raise pot.

Weak pairs veut dire paires faibles, ce sont des paires en dessous de la middle pair. Contrairement à ce que leur nom veut dire, les weak pairs ne sont pas toujours faibles.

Les weak pairs sont un moyen grossier de classifier les paires, car entre la 3ème paire et low pocket paires (PP) il y aura une différence stratégique dans la manière d'être joué. Plus généralement entre les PP et les paires du board, car les pairs en générale ont l'avantage de block des cartes du board et de redraw à 5 outs alors que les PP unblock les cartes du board et bloquent potentiellement des bluffs et ne redraw que 2 outs.

1. La théorie

3 Bet pot big blind, bouton est héro, et il a

Preflop : Héro raise 2.5 BB, vilain raise 10 BB, héro call

Pot : 20.5 BB

Flop : , vilain bet 13.5 BB, héro call

Pot : 47.5 BB

Turn : vilain check

est une main avec de la showdown value, pourtant c’est une main qui aime bet pourquoi ?

Comme je l’ai déjà dit plusieurs fois, on ne peut pas trouver la stratégie de la BB si on ne considère pas toute notre range ainsi que toute sa range.

Ici on a une structure typique de la ligne BC X. C’est-à-dire que notre bas de range à beaucoup d’EV dans la line check, car nous avons fold au flop nos pires mains, ce qui veut dire que quand le héro reprend le lead, ça va over fold.

Même dans des situations où nous aurions assez de bluffs pour développer une range de bet turn composée uniquement d’airs, ce n’est pas dit que ce soit la meilleure chose à faire.

En effet il y a des flops où on va avoir une range de value river quand turn ça XX, et ici on voudrait avoir des airs pour bluff, et non des weak pairs, qui n'accomplissent pas grand-chose, vilain va pouvoir s’adapter en resserrant sa range de call si on a des bluffs à trop haute equity, et donc on va devoir value plus strong, et notre haut de range va prendre moins de value.

Il y a aussi le fait que pour le même sizing, la fréquence de fold sera supérieure dans la line XX turn XB river que dans la line XB turn.

C’est pourquoi même dans cette situation, la BB peut fold beaucoup turn pour garder l’indifférence, car l’EV que nos airs gagnent turn est inférieure à l’EV qu’ils gagnent quand ils check pour prendre le pot river, où si l’EV est égale, hero risque de se faire exploiter river s’il n’a pas assez de bluffs.

Par exemple, si on reprend notre situation en 3 bet pot SB vs BB, flop (partie 2)

Vilain bet 2/3 on call, turn vilain X. On a , si on bet turn on bloque de la folding range comme , , , , ..., et si on veut second barrel river on va bloquer des , , , , ... alors que si on check turn, pour bet river, on ne bloque plus ces mains, car vilain va les bets river s’il a une range de value.

Donc vilain peut se retrouver à fold plus que le MDF face à la range totale, mais à fold moins vs un combo car il y a l’effet blocker.

Par exemple si on reprend notre JT : quand on bet 50 % vilain va fold 48 %, alors que vs full range il fold 62.6 %

Il y a aussi la réalisation d'equity : quand on bet, on s’achète la river, mais s’acheter la river avec un air ne sert à rien, car quand on check back river on perd le coup, et quand on check turn et que vilain bet, on peut fold sans se faire deny son equity car on en a pas, ce qui n’est pas forcément le cas des weak pairs.

Attention ça ne veut pas dire que turn on va check tous nos airs pour bluff les weak pairs. Cela va dépendre des blockers, de comment les weak pairs réalisent leur équité (EQR), de comment vilain va défendre river…

Par exemple dans le même spot, quand on X back turn, et que vilain check river, il va fold 77.39 % en moyenne vs un bet 1/2 pot, car nos mains ont trop de showdown value, quand vilain a bet flop pour check turn, il a une tonne de airs dans sa range. En voyant cela, on comprend pourquoi préfère check bet river.

En fait si river vilain fold plus, c’est parce qu’il check des air draw qui pourront call sur un bet turn, mais devrons fold river s'ils miss leurs outs.

L'effet deny de l'equity

Il y a une formule qui peut être écrite, mais qui ne prend pas en compte les EQR (on verra la formule plus complexe après), mais cela peut quand même améliorer notre instinct.

Ce que l’on cherche, c’est trouver l'equity pour que le bet turn soit supérieur au check back turn, dans les jeux nearly PVBC*, l'indifférence est entre XX, et BX, dans le vrai jeu cela est plus compliqué, car déjà quand on bet, on se retrouve pas dans une seule river comme dans les toys games, mais dans 46 rivers différentes, donc pour contourner le problème, on introduira une variable que l’on appelle l’EQR, qui servira à contourner les problèmes causés par le jeu multi streets, in game l’EQR est une variable que l’on doit toujours garder à l'esprit, et la deviner demande plus d'instinct que de calcul. Bien sûr ici c’est le solver qui va calculer notre EQR.

*nearly PVBC* : presque polarisé vs bluff catcher

On a :

- FT = fréquence fold turn, B = montant bet, P = montant du pot

- EV (check-check) = EV (bet-check) = P * Equity(héro) (vs vilain starting range) = – B + FT (B + P) + (1 – FT) (2B + P) Equity(héro) (vs vilain Calling range)

- Equity(héro) (vs starting range) = FT * equity(héro) (vs folding range) + (1 – FT) Equity(héro) (vs Calling range)

Donc :

- P * (FT * Equity(héro) (vs folding range) + (1 – FT) Equity(héro (vs Calling range)) = – B + FT (B + P) + (1 – FT) (2B + P) EQ(héro) (vs vilain Calling range)

- Equity(héro) (vs vilain Calling range) = x, et Equity(héro) (vs folding range) = y

P * (FT * y + (1 – FT) x) = – B + FT (B + P) + (1 – FT) (2B + P) x
P * (FT * y + x – FT x) = – B + FT (B + P) + (1 – FT) (2B + P) x
P FT P y + P x – P FT x = – B + FT (B + P) + (1 – FT) (2B + P) x
P x – P FT x - (1 – FT) (2B + P) x = – B + FT (B + P) - P FT P y
P x – P FT x - (1 – FT) (2B + P) x = – B + FT (B + P) - P FT P y
X ( P – P FT - (1 – FT) (2B + P) = – B + FT (B + P) - P FT P y
X = – B + FT (B + P) - P FT P y / [( P – P FT - (1 – FT) (2B + P)]
X = – B + FT (B + 1) - FT y / [( 1 – FT - (1 – FT) (2B + 1)]
X = – B + FT (B + 1) - FT y / [( 1 – FT - (1 – FT) (2B + 1)]
…
x = ½ - ½ (1 – y (FT / (1 – FT)) (P / B)

Ainsi on aura à la fin de l’équation, si on considère que FT = B / (B + P) :

(FT / (1 – FT)) (P / B)
B / (B + P) / (P / (B + P)) (P / B)
B (B + 1) / (B + 1) * (1/B)
B (1 / B)
1

On voit que les termes s'annulent, ainsi on se retrouve avec cette formule

Equity (vs calling range) = ½ - ½ (1 – Equity (vs folding range)).

Mais ici on n’est pas dans le cas où BB fold B / (B + P), mais plutôt FT = (B + Z – Y) / (B + P – Y) ou Z < Y – B / (B + 1) Y*, ce qui fait que la partie (FT / (1 – FT)) (P / B) ne fera pas 1.

Par exemple si on reprend notre situation avec le solver, on va bet ½ pot, et le solver ne va pas fold 1/3, mais 1/2, ce qui fait que l’on va se retrouver avec (FT / (1 – FT)) (P / B) = 2.

*voir MDF Poker (il faut au minimum 10 caractères pour un titre) - Stratégie - Forum Poker Académie (poker-academie.com)

Ce qui va faire pencher la balance du côté du bet.

Une autre chose qui n’est pas prise en compte ici, c’est l’EQR.

On va avoir 3 EQR, l’EQR (check vs folding range), l'EQR (check vs calling range), et l’EQR (call vs calling range).

En général :

- L’EQR (check vs folding range) sera < 1

- L’EQR (check vs calling range) = 1

- L’EQR (call vs calling range) > 1

(Quand il y’a des draws qui vont bet flop, check call turn, et bet river si XX turn, alors ça drop un peu notre EQR vs calling range)

De la même façon que pour l’Equity où on peut écrire que Equity = Equity vs folding range * Probabilité fold + equity vs calling range * probabilité call, on peut aussi écrire la même chose pour l’EQR, on se retrouve ainsi avec deux EQR, une pour la line check, et une pour la line bet.

Donc prenons d’abord en compte seulement le premier EQR (check)

- P * EQR (check) * (FT * y + (1 – FT) x) = – B + FT (B + P) + (1 – FT) (2B + P) x

Ce qui donne :

- X = - (− FT – FT * B + B + EQR (check) * FT * y) / (−1−2 * B + FT + 2 * B * FT + EQR (check) − EQR (check) * FT)

Par exemple si : EQR (check) = 0.8 ; B = 0.5 ; y = 0.7 ; F = 0.5

- X = - (− 0.5 – 0.5 * 0.5 + 0.5 + 0.8 * 0.5 * 0.7) / (−1−2 * 0.5 + 0.5 + 2 * 0.5 * 0.5 + 0.8 – 0.8 * 0.5)

Il faut 0.05 % d’equity vs calling range pour bet

- X = - (− 0.5 – 0.5 * 0.5 + 0.5 + 1 * 0.5 * 0.7) / (−1−2 * 0.5 + 0.5 + 2 * 0.5 * 0.5 + 1 – 1 * 0.5)

Maintenant on peut encore rendre pire la situation du check, en ajoutant dans l’équation l’EQR vs calling range, et celle-ci ne sera jamais en dessous de 1, car quand on bet avec une range équilibrée, on s’achète la river, c’est à dire que vilain aura une très faible fréquence de donk bet. En plus on a les implied de nos 2 outs.

Donc :

- P * EQR(check) * (FT * y + (1 – FT) x) = – B + FT (B + P) + (1 – FT) (2B + P) x * EQR (bet)

On obtient :

X = - (− FT – FT * B + B + EQR(check) * FT * y) / (FT * EQR(bet) – EQR(bet) – 2 * B * EQR(bet) + 2 * B * F * EQR(bet) + EQR(check) − EQR(check) * F)

Reprenons le même exemple qu’avant, sauf que maintenant on a une EQR de 1.2 vs calling range.

X = - (− 0.5 – 0.5 * 0.5 + 0.5 + 0.8 * 0.5 * 0.7) / (0.5 * 1.2 – 1.2 – 2 * 0.5 * 1.2 + 2 * 0.5 * 0.5 * 1.2 + 0.8 – 0.8 * 0.5)

X = 0.0375

Ces résultats peuvent paraître surprenants, mais cela montre à quel point bet une weak pair peut être très profitable : à noter que si c’est si profitable à bet, c’est parce qu'on a pas pris en compte les raises de vilain. Le plus simple c’est de garder le 1 – FT pour la range de call, mais de down notre EQR quand ça raise.

Ici on a calculé en prenant en compte notre equity vs all range, et folding range, mais il est possible d’exprimer les variables autrement, cependant je trouve qu’aux tables c’est la façon la plus simple de calculer.

Reprenons notre exemple avec le solver, avec

On a environ 70.772 % d’equity vs folding range, quand on check on a environ 81.28 % d’EQR, et on a une EQR de 135.27 vs calling range

Ici vilain va raise et on va devoir fold, donc on peut down de notre EV 240 * 0.11 = 26.4 donc EQR = 109.13

Ensuite quand on bet, vilain va fold 12 / 25.46 = 0.47

Donc

- X = - (− FT – FT * B + B + EQR(check) * FT * y) / (FT * EQR(bet) – EQR(bet) – 2 * B * EQR(bet) + 2 * B * F * EQR(bet) + EQR(check) − EQR(check) * FT)

- X = - (− 0.47 – 0.47 * 0.505 + 0.505 + 0.8128 * 0.47 * 0.70772) / (0.47 * 1.0913 – 1.0913 – 2 * 0.505 * 1.1159 + 2 * 0.505 * 0.47 * 1.0913 + 0.8128 – 0.8128 * 0.47) = environs 0.09

Ici on a environ 11 % d’equity vs calling range, donc le bet est > au check, et c’est pourquoi le solveur le prend en pur bet.

Le but de tous ces calculs, ce n’est évidemment pas d’être capable de le reproduire aux tables, mais plutôt de comprendre d’où vient notre EV, ainsi d’augmenter son instinct à prendre de bonnes décisions.

La compréhension, et l’estimation de l’EQR et de la folding range sont l’une des compétences les plus importantes pour prendre ce genre de décision.

Vulgarisation des concepts vue dans le spot

Les implied vont inciter au bet, en effet plus le pot est gros plus ça up notre EV
Les implied vont avec les outs : plus on a d’outs, plus la somme des 46 rivers, up notre EV
Bien évidemment pour que tout ça soit valable, il faut que notre equity soit en quelque sorte inélastique à la range.
Les raises vont nous inciter à jouer passivement, encore plus avec les weak pairs qui en général ne pourront pas continuer. Les flush draw peuvent parfois call, mais ils ne sont pas contents de se faire raise.
Quand on bet on a de la FE : plus on fait fold de l'equity à vilain plus on veut bet, et plus on a du mal à réaliser cette equity quand on check, plus bet est good. C’est pour ça que on voit souvent le solveur prendre des low PP pour raise, car ils ont une mauvaise EQR, et vont deny l’equity des overcards quand ils bet.
Turn quand on bet on aura toujours une EQR > à 1 vs calling range, car on s'achète la river, et on pourra même quelquefois avoir des bluffs EV+, et on a les implied dans un pot gonflé.
Quand on a des bluffs à haute EV de check, alors vilain va fold plus, et nos weak pairs auront une meilleur FE.
On veut bloquer la range de raise, même si ce sont des mains que l’on bat, et on veut aussi bloquer de la calling range, et unblock de la folding range.
Si on bloque des fold turn, mais que ces fold turn auraient bluff river dans la line check, alors jouer en XX turn pour bet si X river est good.
Si river on a une mauvaise EQR dans la ligne XX turn quand ça BC flop, c’est parce que vilain aura des airs + des bonnes mains qu’il aura check en freq ou check back car mauvais blockers…, et nous on aura bet nos bonnes mains turn, avec des bluffs. Ainsi on se retrouve avec une range de mains moyennes, et vilain pourra bien jouer contre cette range.

Mais si vous pensez que vilain ne check jamais de bonnes mains, alors notre EQR dans la ligne XX va up, ainsi nos critères pour bet vont se resserrer. De même que si vilain check back de bonnes mains turn, mais ne bluff pas assez river, alors notre EQR va up, car comme on l’a vu notre EQR c’est EQR vs fold range * FT + EQR vs calling range * (1 - FT), et comme on aura très peu d'equity contre la partie EQR vs calling range, alors on aura en quelque sorte 100 % d’EQR, c’est donc le bas de range de vilain qui nous drop notre EQR quand il bet.

La même chose se passe si vilain ne respecte pas l’initiative, et se met à trop donk ou raise, alors notre EQR dans la ligne XB va down…