Poker fermé limite - Article 3: Espérance de gain des mains

• 13 mai 2007
• Nico_1963
• 6452
•  PA  1

L'article précédent nous a montré quelques résultats intéressants quant aux probabilités d'apparition des mains et de la traduction qu'il faut en faire. Nous allons ici étendre ces calculs afin d'établir une première matrice de valeur des mains, fonction du nombre de joueurs sur la table.

Tout d'abord, un petit retour sur les mathématiques pour mieux comprendre la matrice exposée dans cet article.

Supposons que vous jouiez à pile ou face contre 2 adversaires successivement, le but étant de savoir quelles sont vos chances de gagner contre les 2 joueurs.

Soit Py(1) la probabilité de gagner à ce jeu face à un adversaire. On a Py(1) = 1/2. Vous avez exactement une chance sur 2 de l'emporter. Mais vous avez 2 adversaires à rencontrer, il nous faut donc calculer Py(2). Et bien les mathématiques nous indique que Py(2) = Py(1) - (1-Py(1))*Py(1) ...

Rien que çà ! En plus clair, la probabilité de gagner contre ces 2 adversaires est égale à la probabilité de gagner contre un adversaire moins la probabilité que le second gagne contre vous au cas ou vous auriez gagné contre le premier.

Avec le détail suivant donc:

Py(1)= Probabilité que je gagne contre un adversaire

1-Py(1)=Probabilité que mon adversaire me batte

(1-Py(1)) * Py(1) = Probabilité que le second gagne contre vous au cas ou vous auriez gagné contre le premier.

Du coup la probabilité que je gagne contre 3 adversaires devient simple, elle est égale à la probabilité de gagner contre deux adversaires moins la probabilité que le troisième gagne contre vous au cas ou vous auriez gagné contre les 2 premiers (sic).

Ce qui nous donne Py(3)=Py(2) - (1-Py(1))*Py(2)

En généralisant Py(n)=Py(n-1)-(1-Py(1))*Py(n-1) , voila la formule !

Pour finir avec le jeu de pile ou face, on sait que Py(1) = 1/2 ce qui nous donne 50%de chance contre un adversaire, 25% de chance contre 2 adversaires, environ 0,13% contre 3 adversaires etc...

Bien, nous avons l'outil qu'il nous fallait pour revoir en profondeur la matrice présentée au précédent article.

Cet matrice correspond à une situation de head up, vous êtes face à un seul adversaire, la colonne Py(1) vous indique la probabilité que votre main, avant le change des cartes, soit supérieure à celle de votre adversaire.

Ainsi si vous avez une paire de 2 en main, sachant que votre adversaire n'a que 50% de chance de toucher au moins une paire, Py(1) vaudra exactement 0,5.

Ainsi une paire de 2 est un jeu médian en absolu quand on joue face à un adversaire, si deviez abattre vos cartes immédiatement (sans le change des cartes), avec une paire de 2, vous gagneriez exactement une fois sur deux. Un paire de 7 gagnerait dans 66% des cas, une paire d'as dans 89% des cas.

En appliquant la formule magique Py(n)=Py(n-1)-(1-Py(1))*Py(n-1) on obtient le résultat suivant:

Les cases en italiques correspondent aux situations favorables, c'est à dire aux mains ayant une espérance de gain positive.
Pour bien comprendre la matrice, prenons un exemple, la paire de valet. Mettez vous dans la situation suivante, vous êtes le premier à parler, vous ne savez donc pas encore ce que vont faire les autres adversaires, votre table est une short handed 5 joueurs et vous avez une paire de valet. La matrice indique que dans cette situation la paire de valet à une espérence de gain de 0,4. Si tous les joueurs, à ce stade de la partie, abattaient les cartes, une paire de valet gagnerait dans 40% des cas.

Est ce que cela veut dire qu'une paire de valet n'est pas suffisante pour entrer dans le coup quand est premier à parler sur une table de 5 joueurs.

Bien sur que non, cela dépend de la structure des blinds mais nous en reparlerons dans le prochain article ...