Comprendre le jeu parfait GTO : Sklansky vs Nash

Comprendre le jeu parfait GTO : Sklansky vs Nash

Afin de mieux appréhender la GTO, nous allons étudier deux écoles de pensée qui ont marqué le poker, celle de Slansky et son théorème fondamental du poker et celle de Nash et de ses équilibres.

Deux écoles de pensées ont essayé de théoriser le jeu parfait au poker. La première nous vient du joueur et auteur David Slansky, la deuxième a été inspirée par les travaux du mathématicien John Nash, prix Nobel d’Economie. Pour les comprendre et déterminer qui a raison, nous allons nous intéresser au Push or Fold Heads-Up en short-stack.
Cet article a donc un intérêt théorique, mais aussi pratique, pour tous les joueurs de MTT, SNG et en particulier les joueurs d’expressos / spin&go qui se retrouvent souvent en HU short-stack. Attention toutefois à ne pas surestimer l’intérêt pratique du jeu parfait en push or fold : comme son nom l’indique, en push or fold, la small blind ne peut que faire all in ou se coucher. Au vrai texas holdem, même très short-stack, le meilleur move peut-être de limp ou min-raise. Donc même à 8bb deep par exemple, le jeu parfait en push or fold n’est pas le jeu parfait en texas holdem.


Le Théorème Fondamental du Poker et l’approche Sklansky.

David Sklansky aka the Mathematician, 3 bracelets WSOP, a formulé son Théorème Fondamental du Poker :
“Chaque fois que vous jouez votre main différemment de ce que vous l'auriez jouée en connaissant les cartes adverses, vos adversaires gagnent de l'espérance et chaque fois que vous jouez votre main de façon identique à la façon dont vous l'auriez jouée en connaissant les cartes adverses, vos adversaires perdent de l'espérance. De même, à chaque fois que vos adversaires jouent leur main différemment de la façon dont ils l'auraient jouée en connaissant vos cartes, vous gagnez de l'espérance; et chaque fois qu'ils jouent leur main de façon identique à la façon dont ils l'auraient jouée en connaissant votre main, vous perdez de l'espérance.”

Le TFP semble avoir l’évidence d’une tautologie (énoncé qui ne peut qu'être vrai et n’apporte rien). Nous allons pourtant voir qu’il permet de construire des conceptions assez avancées mais aussi, même si cela peut paraître paradoxale à première vue, que commettre une erreur au sens du TFP ne signifie pas forcément mal jouer.

En collaboration avec Chubukov, Sklansky s’est intéressé au jeu push or fold. Il s’est donc posé la question suivante : pour une main donnée, à partir de quel profondeur je peux faire all-in profitablement, en considérant que mon adversaire ne va pas faire d’erreur au sens du TFP.
Ils ont abouti au tableau suivant :

Ainsi, si j’ai KK en sb et un stack de 477 blindes effectives, je peux push, et même si vilain joue parfaitement au sens du TFP (ne paie qu’avec AA), le move est EV0 (et profitable en dessous de 477 bb)
Avec A2s en sb, je peux push jusqu’à 29 bb deep, et même si vilain ne paie qu’avec des mains qui ne vont pas le regretter, le move est profitable à terme.

Alors, est-ce que Sklansky-Chubokov correspond au jeu parfait en push or fold ? Non, et loin de là.

Ainsi, faire all-in avec 98s à 15bb deep serait une grosse erreur selon leur table. En effet, cette main ne serait pushable que jusqu’à 7.6 bb. La raison est que Sklanksy considère que si on push 98s, vilain va call avec des mains comme T2o qui nous dominent. Mais qui irait payer un tapis avec T2o à 15bb deep ?

On peut commettre une erreur au sens du FTP et bien jouer et réciproquement, ne pas commettre d’erreur au sens du FTP et mal jouer : en bb avec une profondeur de 10 blindes, vilain boîte avec AA et vous avez KK. Si vous callez, vous commettez une erreur au sens du FTP mais c’est évidemment le meilleur move, si vous foldez, vous ne commettez pas d’erreur au sens du FTP, mais c’est un move catastrophique.

La table de Sklansky-Chubukov ne donnent donc pas le jeu parfait en push or fold, mais le jeu parfait en push or fold face up (cartes retournées) ! L’intérêt pratique est donc vraiment limité et se résume à vous avez TT en sb, 100 bb deep, pas de chance vous retournez malencontreusement votre main, c’est pas si grave, vous pouvez push profitablement.

Toutefois, il peut être intéressant de se baser sur la table de S-C pour construire ses propres ranges.


Les ranges de Nash

La notion d’équilibre de Nash, qui a valu à John “a beautiful mind” Nash le prix Nobel d’Economie 1994, désigne une situation où aucun des joueurs n’a intérêt à changer de stratégie.
Au poker, “jouer Nash”, ou jouer GTO, signifie être inexploitable. Autrement dit, si l’on dévie de cette stratégie, Vilain peut s’adapter et gagner de l’Ev.

Bien après la table de S-C, sont sorties les tables de Nash pour le jeu push or fold jusque 20 bb deep. La table de S-C a été très fastidieuse, mais relativement simple à construire : on se demande quelles mains dominent notre main, quelle est l’Ev de notre main contre ces mains qui dominent et on détermine la profondeur jusqu’à laquelle on peut push. Construire les tables de Nash a été une toute autre affaire et a nécessité de nombreuses simulations informatiques.

Voici la table de Nash d’open push/fold en sb et de call all-in en bb.

Il y a donc trois mains à part, signalées par des astérisques, par exemple 63s, qui est un push entre 7.1 et 5.1 bb deep, puis un fold entre 5.1 et 2.3, puis un push en dessous de 2.3. Ne me demandez pas pourquoi, je dois avouer ne pas avoir compris et je serai reconnaissant envers celui qui postera l’explication en commentaire.

Ce tableau montre la seule stratégie inexploitable en push or fold. Si on push moins que Nash, vilain gagnera les blinds plus souvent et va pouvoir moins nous payer profitablement. Si on push plus que Nash, on risque trop de jetons pour gagner les blindes et vilain va pouvoir nous exploiter en en payant plus.

On note que les ranges de push et de call ne sont pas identiques, alors qu’on pourrait se dire “il suffit que je call avec sa range de push pour avoir les cotes”. Seulement si on call avec la range de push de Nash, la sb va pouvoir pusher moins, profitablement.

Est-ce que la table de Nash correspond au jeu parfait en push or fold ? La réponse est oui.
Il s’agit de la seule stratégie GTO. Cela dit, ce n’est pas forcément la stratégie la plus Ev+. Par exemple, si Vilain ne push que AA, le mieux est évidemment de call que AA et de fold tout le reste.


L’intérêt pratique des tables de Nash push or fold en Holdem

Je vous l’avais dit en introduction, le jeu parfait en push or fold ne correspond pas au jeu parfait en Holdem, loin de là. Toutefois, les tables de Nash push or fold ont un réel intérêt pratique.

Il faut savoir que si on joue Nash vs Nash en push or fold, la bb est Ev+ au delà de 7bb deep et la sb est Ev+ en dessous de 7bb deep. On peut en déduire plusieurs clefs pour le jeu en holdem shortstack :

Au dessus de 7bb deep, il ne faut surtout pas être en push or fold ! Dans le meilleur des cas, vous jouerez selon les tables de Nash et si Vilain aussi, vous serez Ev-. Il est donc nécessaire d’avoir une range mixed, avec des limp et min raise. On comprend aisément pourquoi : le gros avantage de la sb en HU et qu’on a le bouton postflop. Si on ne fait que push, on perd cet avantage.

En dessous de 7bb deep, on peut se mettre en mode push or fold de manière Ev+. Une stratégie mixed pourrait être encore meilleure, mais on est sûr de gagner de l’argent.

Il est important de connaître la table de call pour savoir quoi faire si on n’a aucune info sur vilain et bien s’adapter ensuite.

Si Vilain min raise 100% à 14bb deep en sb, c’est exactement comme si on était 7bb deep, nous en sb. Il est donc Ev+ d’appliquer le push or fold de Nash, au lieu de just call et jouer hors position.

NB : que ce qu'on appelle souvent juste "les tables de Nash" sans préciser "en push or fold" puissent être Ev- au bouton au delà de 7bb deep ne signifie évidemment pas qu'il y a un problème avec la théorie des jeux de John Nash ! C'est juste que ces tables sont valables pour le push or fold et non le holdem.