Paradoxe QQ vs AK+

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Je viens de voir une petite énigme sympas présentée sur 2+2.
Je n’ai pas la réponse mais je poste quand même pour ceux que ce genre de problème amuse comme moi:

J’ai QQ et il me faut une côte de 42% pour caller le push de vilain:

Cas 1: Vilain a un range KK+ AK+
D’après poker stove mon équité est de 40% environ donc je fold

Cas 2: Vilain a le même range mais il me montre qu’il a un As
Son range devient AA, AK+.
D’après poker stove mon équité est de 45.8% donc je call

Cas 3: Vilain a le même range mais il me montre qu’il a un Roi
Son range devient KK, AK+
D’après poker stove mon équité est de 45.7% donc je call

A priori tout semble normal. On me donne plus d’info j’affine le range de mon adversaire d’ou décision différente.
Mais dans le cas 1 même si mon adversaire ne me montre rien, je peux simuler (dans ma tête) que je retourne une des 2 cartes de mon adversaire.
50% des cas je retourne un As et je devrais caller
50% des cas je retourne un Roi et je devrais caller
==> Dans 100% des cas je dois caller.

Ou est l’erreur?

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salut

j’ai fait le test je trouve pas pareil

cas2 ul me montre disont l’As de trefle:
Text results appended to pokerstove.txt

71,916,768 games 0.005 secs 14,383,353,600 games/sec

equity 	win 	tie 	      pots won 	pots tied

Hand 0: 39.940% 39.73% 00.21% 28569642 154254.00 { QQ }
Hand 1: 60.060% 59.85% 00.21% 43038618 154254.00 { AcAd, AcAh, AcAs, AcKc, AcKd, AcKh, AcKs }

Cas3 il me montre le ROI de trefles:
Text results appended to pokerstove.txt

71,916,768 games 0.005 secs 14,383,353,600 games/sec

equity 	win 	tie 	      pots won 	pots tied

Hand 0: 39.774% 39.55% 00.22% 28445442 158943.00 { QQ }
Hand 1: 60.226% 60.00% 00.22% 43153440 158943.00 { KcKd, KcKh, KcKs, AcKc, AdKc, AhKc, AsKc }

me suis peut etre trompé quelques part

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Tu ne t’es pas tromper je pense.
C’est simplement que tu donnes la réponses qui apparemment était évidente pour toi :-).

Tu as calculé QQ vs Range KcK KcA+ (tu suppose qu’on a le Kc).

Dans mon exposé dans les cas 2 et 3 les chiffres étaient face au range AK+ KK et AK+ AA Je ne suppose pas que la couleur d’un des K ou A est connu.
C’est là l’erreur.

Maintenant même problème mais en supposant que le vilain te montre la carte (un As ou un Roi) sans te montrer la couleur (Je sais pas comment il fait mais bon c’est juste un pb théorique).

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ah oui, maintenant qu’il nous dit qu’il a un As ou un roi, il ne le montre pas mais il peut pas mentir ca devient effectiment 45%.

maintenant de la a retourner mentalement une carte je sais pas, tu peux retourner un K mais il a AA, ou le contraire et du coup t’a tout faux.

sinon c’est un peu logique je dirai!

Cas 1 il y a 36 mains differentes, 12 mains qui sont devant QQ pour 24 qui donne un coin flip.
Cas 2 et 3 il y 30 mains differentes, et plus que 6 mains qui sont devant QQ et toujours 24 qui donne un coin flip

un coin flip donnant tout de meme un avantage d’équité à la paire ca parait logique que l’équité de QQ quand on connait une des cartes adverse soit plus haute.

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{AA AK} = (22/28) (78)% du range {KK+ AK}
{KK} = (6/28) (21)% du range {KK+ AK}
{KK AK} = (22/28) (78)% du range {KK+ AK}
{AA} = (6/28) (21)% du range {KK+ AK}

{KK+ AK+} vs {QQ} = 45.8%
{AA, AK+} vs {QQ} = 45.7
{KK} vs {QQ} = 18%
{AA} vs {QQ} = 18.4%

Quand tu tire un A, tu es contre {AA AK}, Or son range est {AA+ AK}, tu est donc contre 78% de son range et 21% du temps il reste KK,
Donc on a bien 0.78* 45.7 + 0.21 * 18 = 40%

Idem quand tu tire un K. => 40%

50% du temps tu as 40% et 50% du temps tu as 40% donc 100% du temps tu as 40%
car son range n’a pas changer. Non?

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Le fait que tu connaise une de ses cartes fait que AK représente un plus grand pourcentage du range, donc ton equity augmente. C’est assez logique, en retournant une carte tu peux enlever une main qui t’explose de son range. Après je vois bien ce qu’on peut trouver bizarre.

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Entre simuler que tu as l’info et avoir l’info, il y a une différence.
Je vais te prendre un exemple plus simple.

Imagine un sac dans lequel tu as 2 boules rouges et 2 boules bleues.
Le jeu consiste à parier sur la couleur qui va être tirée par une main innocente,SACHANT QU’UNE BILLE EST RETIREE DU SAC, MAIS PERSONNE NE SAIT SA COULEUR.

Le pari est à 1 contre 1, c’est à dire que si tu gagnes, tu doubles.

Supposons que tu aies cette règle: tu vas jouer uniquement si tu as une probabilité de gagner strictement supérieure à 50% (ça veut dire aussi que ton EV est strictement supérieure à 0).

Si tu fais tes calculs, tu verras que le jeu est équuilibré et que en temps normal, tu as 50% de chances de gagner, donc tu ne joues pas.

Maintenant, suppose qu’avant que tu joues, mais après avoir secrètement retiré une bille du sac, on te montre une des billes qui y reste et on la remet dans le sac. Il y a 2 chances sur 3 que ce soit une bille de l’autre couleur que celle qui a été enlevée (si une Rouge a été enlevée, alors il reste dans le sac 2 bleues et 1 seule rouge).

Tu as donc tout intérêt à jouer: ton EV est supérieure à 0.

On est bien dans le cas de ton coupe de poker:

Cas 1: Je tire une bille sans avoir d’info en plus. J’ai une EV de 0. Je ne joue pas.
Cas 2: on tire une bille bleue du sac et on la remet. Je joue.
Cas 3: on tire une bille rouge du sac et on la remet. Je joue.

Si je simule dans ma tête: 50% du temps on me montre une bille bleue et je joue.
50% du temps on me montre une bille rouge, et là aussi je joue…

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Je précise un peu.
Ce n’est pas le fait que dans les cas 2 et 3 on as une meilleure côte que dans le cas 1 qui est étonnant. (ca parait clair en effet que QQ vs AK+ KK+ est moins bien que QQ vs AK+ KK ou QQ vs AK+ AA)
Le paradoxe c’est le fait que APPAREMMENT quand on est dans le cas 1 on est en fait soit dans le cas 2 soit dans le cas 3.

staan66 désolé j’ai pas bien compris ta démonstration.

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Fred.dz écrit:

A tous:

le problème n’est pas justifier les chiffres de Poker Stove, le problème est d’expliquer pourquoi qu’en énumérant des cas a priori indépendants, on doive effectuer une action alors que si on les prend au global, on ne peut pas la faire…

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y’a aucun paradoxe la dedans

à la base il peut toucher 100% des mains possible.
t’a une info qui te dit qu’il a KK+;AK, tes chances de gagner avec QQ à déja changé par rapport au départ.
maintenant t’a encore une info de plus, il a soit AA;AK ou KK;AK suivant ce qu’il te dit, tes chances de gagner change encore.

plus t’a d’info plus tu peux affiner tes calculs.

y’avais un post que j’ai pas retrouvé qui était un peu du meme genre.
c’était sur un jeu avec 3 portes, on en choisi une, le présentateur nous montre qu’une des 2 autres est vide et apres on garde celle qu’on a choisi ou on change!
si mes souvenir sont bon il était préférable de changer, on a une info en plus et il y avait plus de chance que la bonne porte soit l’autre que celle qu’on a choisi.

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fab12 écrit:

[quote]Je précise un peu.
Ce n’est pas le fait que dans les cas 2 et 3 on as une meilleure côte que dans le cas 1 qui est étonnant. (ca parait clair en effet que QQ vs AK+ KK+ est moins bien que QQ vs AK+ KK ou QQ vs AK+ AA)
Le paradoxe c’est le fait que APPAREMMENT quand on est dans le cas 1 on est en fait soit dans le cas 2 soit dans le cas 3.

staan66 désolé j’ai pas bien compris ta démonstration.[/quote]

Quand on est dans le cas 1, on n’est pas PAS soit dans le cas 2, soit dans le cas 3.
Parce que le calcul d’équité dépend aussi de la quantité d’information et n’est pas un calcul de probabilités conditionnelles.

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andramelech écrit:

[quote]y’a aucun paradoxe la dedans

à la base il peut toucher 100% des mains possible.
t’a une info qui te dit qu’il a KK+;AK, tes chances de gagner avec QQ à déja changé par rapport au départ.
maintenant t’a encore une info de plus, il a soit AA;AK ou KK;AK suivant ce qu’il te dit, tes chances de gagner change encore.

plus t’a d’info plus tu peux affiner tes calculs.
[/quote]

Peut être je ne comprends pas ce que tu veux dire mais Là encore j’ai l’impression que tu expliques pourquoi dans le cas 1 il faut folder alors que dans les cas 2 et 3 on call.
Ce n’est pas ça le paradoxe pour moi.

Mon problème c’est qu’est-ce qui est faux dans le raisonnement suivant:
Je suis dans le cas 1.
J’imagine que je retourne la 1ère carte de vilain (mais je ne le fais pas vraiment).
50% du temps je verrai un As ==> cas 2
50% du temps je verrai un Roi ==> cas 3
Quelque soit le résultat je dois caller.

Donc pas besoin d’effectivement retourner la carte je dois caller.

En fait je crois que l’erreur n’est pas vraiment dans ce raisonement.
L’erreur c’est que si tu mets vilain sur un range KK+,AK+ et si il te dit que tel carte est un As alors ce n’est pas équivalent à dire que tu te retrouves dans le cas QQ vs AA, AK+ (c’est ce que tu as immédiatement démontrer dans le cas ou l’on supposait que vilain te montrais la carte entièrement- on était pas face à AA AK+ mais face à AcA AcK+).
Reste à démontrer pourquoi dans le cas ou tu ne vois pas la couleur…

[quote]
y’avais un post que j’ai pas retrouvé qui était un peu du meme genre.
c’était sur un jeu avec 3 portes, on en choisi une, le présentateur nous montre qu’une des 2 autres est vide et apres on garde celle qu’on a choisi ou on change!
si mes souvenir sont bon il était préférable de changer, on a une info en plus et il y avait plus de chance que la bonne porte soit l’autre que celle qu’on a choisi.[/quote]

Effectivement c’est un problème dérivé du problème des 3 portes.
Tu as 3 portes A B C
Tu choisis la porte A
Le présentateur te montre que B est vide. Alors tu as interêt à changer et choisir la porte C.
En gros c’est parce que si la bonne porte est A il n’y avait qu’une chance sur 2 qu’il désigne la porte B comme vide (car il aurait pu désigner C aussi).
Alors que si C est la bonne porte il va forcemment désigner la porte B.

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A priori c’est parce que dans le cas de l’expérience de pensée tu comptes AK deux fois.
Et donc tu crois te retrouver avec une équité de 45,8 % face à son range, or on doit retrouver normalement 39%. Je pense que c’est là le problème maintenant j’attaque le calcul

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Je précise juste mon idée : les deux ranges ne sont pas indépendants, et la déduction finale me parait donc fausse mais là j’avoue je galère un peu niveau du calcul, il y a des matheux dans le coin?

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Ah ok, j’avais pas vu « simuler dans ma tête ». Bah oui je vois pas trop où est le problème. En fait toi en faisant ta simulation tu considère que tu va te retrouver 50% du temps face à AA/AK, et 50% contre KK/AK et donc que ton equity est de 45.75% (1/245.7+1/245.8), alors que tu es 100% du temps face à AA/KK/AK soit une equity de 40%.

Je vois pas comment expliquer plus clairement.

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Fred.dz écrit:

[quote]Ah ok, j’avais pas vu « simuler dans ma tête ». Bah oui je vois pas trop où est le problème. En fait toi en faisant ta simulation tu considère que tu va te retrouver 50% du temps face à AA/AK, et 50% contre KK/AK et donc que ton equity est de 45.75% (1/245.7+1/245.8), alors que tu es 100% du temps face à AA/KK/AK soit une equity de 40%.

Je vois pas comment expliquer plus clairement.[/quote]

+1

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J’avoue que le coups de l’expérience de pensée ça n’est pas dans le pb original.
c’est moi qui l’est ajouté pour tenter d’expliquer ou est le paradoxe d’après moi.
Alors c’est peut être faux comme raisonement (même si je ne vois toujours pas pourquoi).

Je vais tenter d’expliquer le paradoxe tel que je le vois d’une autre façon.

Cas 1 + vilain nous montre qu’il a un As call
Cas 1 + vilain nous montre qu’il a un Roi call

Cas 1 + vilain ne nous montre aucune carte.
Certes mais si il en montrait une et n’importe laquelle je sais que je me retrouverais dans un des 2 cas précédent dans 100% des cas
==> Call
Pour moi y’a pas besoin de voir effectivement la carte.

Tiens j’ai encore une meilleure idée pour démontrer le paradoxe:

Vilain montre une de ces cartes à son voisin à qui je montre mon QQ en lui disant que je sais que vilain est sur un range AK+ KK+.
Quelque soit la carte montrée par vilain son voisin sait qu’il faut que je call.
Et moi je sais que voisin sait qu’il faut que je call
==> je sais qu’il faut que je call.

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Regarde :
si vilain est sur {KK+ AK}
et qu’il te montre un A, tu sait qu’il n’a pas KK, ok.
Tu dis donc que son range est {AA AK}…
Mais dans ces cas la, il pourrait te montrer un K…

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staan66 écrit:

[quote]Regarde :
si vilain est sur {KK+ AK}
et qu’il te montre un A, tu sait qu’il n’a pas KK, ok.
Tu dis donc que son range est {AA AK}…
Mais dans ces cas la, il pourrait te montrer un K…[/quote]

Désolé je ne vois tjrs pas tout à fait ou tu veux en venir même si j’entrevois peut être le début d’un raisonnement possible qui serait:

Si il a AK il y a une chance sur 2 qu’il te montre un As ou un Roi
Alors que si il a AA (Resp. KK) il y a 100% de chance qu’il te montre un A (Resp. Un K).

Donc quand il te montre un A certes il est sur un range AA AK+ mais en fait il y a plus 2 fois plus de chance qu’il ait AA que dans un range AA AK+ classique.

C’est ça que tu veux dire?
Si oui je suis d’accords. J’ai juste un peu de mal a formaliser de facon rigouse pourquoi cela implique qu’il y a 2x plus de chance que vilain ait AA dans ce cas là.

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Bon ben voici la démonstration mathématique de ce « paradoxe ». Ce n’est pas de moi je l’ai récupéré sur le forum 2+2.

Lorsque l’on a un range AA,KK,AK la combinatoire relative de chaque main est 6:6:16.
Si, sachant ce range, on retourne une des cartes (sans regarder la couleur) et que l’on trouve un A alors spontanément on élimine KK du range.
Cela dit on est plus face à un range AA,AK classique du type 6:16. Le fait de voir un As augmente la probabilité du AA.
Voici la démonstration de ce fait:

D’après la définition des probabilité conditionnelles on peut écrire:

P(AK|A)=P(A|AK)*P(AK)/P(A)

P(AK|A) est la proba d’avoir AK dans la main quand on voit un As
P(A|AK) est la proba de découvrir un As quand on a AK dans la main
P(A) est la proba d’avoir un As

Clairement dans le range de départ AA,KK,AK la probabilité de découvrir un A est 0.5=P(A).
P(A/AK)=0.5 (si on a AKo y’a une chance sur 2 de découvrir un As)
P(AK)=16/(6+6+16)=0.5714

Donc la proba que vilain est AKo lorsqu’on découvre un As est
P(AK|A)=P(A|AK)P(AK)/P(A)=0.50.5714/0.5=0.5714

D’ou la proba que vilain ait AA quand un A a été découvert:
P(AA|A)=1-0.5714=0.4286

On voit donc que cette probabilité n’est pas égale (mais supérieur) à 6/(6+16)=27.27% qui est la probabilité pour vilain d’avoir AA quand son range est AA,AK.

Donc en conclusion le cas « vilain est sur un range KK+,AK et il indique qu’une de ces cartes est un As » n’est pas équivalent à dire il est sur un range AA,AK au sens classique".
Et donc dans le 1er cas il faut fold alors que dans le 2ème c’est un call.