L’espérance mathématique et les « Pot odds »
L’espérance mathématique (ci-après appelé EV) est à la base même du poker (et de tout autre genre de pari). En un mot l’espérance mathématique (EV) d’un pari est la somme que nous gagnerons (+EV) ou que nous perdrons (-EV) en moyenne.
Pour connaître cette espérance, il faut donc avoir 3 informations importantes. Le coût du pari, la valeur de la cagnotte (le pot) à gagner ainsi que nos chances de gagner.
Exemple 1 PILE OU FACE
Nous jouons à pile ou face. Le coût est de 1 $. Si vous perdez, vous perdez 1$. Si vous gagnez, je vous paierai 1 $ (et vous garderez le votre). Dans l’optique ou la pièce utilisée est honnête (équilibré, etc…) vos chances de gagner sont de 1 sur 2 ou de 50 % (qui s’écrit aussi 0,50). Si nous tirons 100 fois, la pièce tombera normalement 50 fois sur pile et 50 fois sur face. Vous aurez donc gagné 50 $ et vous aurez aussi perdu 50 $ pour un gain ou perte de 0 $.
Dans cet exemple, votre EV est de 0 $. Cela signifie que ce « pari » n’est ni bon, ni mauvais pour vous au sens mathématique du terme (ce ne sera qu’une perte de temps).
Plutôt que de devoir imaginer faire 100 tirages, il est possible de calculer à partir du pourcentage de chance de gagner et perdre. En langage mathématique, l’équation serait ici :
(% gagné X montant gagné) – (% perdre X montant perdu)
Donc
(0.5 X 1$) – (0.5 X 1$) = (0.5$) – (0.5$) = 0 $
Il est aussi possible de voir cette fonction sous l’angle des « Pot odds » (cote du pot en français). La cagnotte (le pot) nous donne du 1 contre 1 (on gagne 1 et on perd 1). Nos chance de gagner si nous souhaitons avoir un EV positif doivent donc être supérieur à l’inverse de cette « cote » donc ici 1 : 1 (pas de ma fautes si l’inverse de 1 : 1 est 1 : 1).
Dans notre exemple nous avons déjà démontré que si nous gagnions 50 % du temps (1 : 1) nous serons EV neutre, et par conséquent si nous gagnons plus que ce 1 : 1 (par exemple 2 : 1) nous serons donc EV positif. Je sais que ce n’est pas évident, mais continuer et après les autres exemples, tout s’illuminera. En particulier le dernier point sera plus clair avec l’exemple ci bas.
Exemple 1.1 PILE OU FACE
Si dans un élan de gentillesse ou d’idiotie, un gambler nous offre du 2 contre 1 (qui s’écrit mathématiquement 2 : 1), c’est-à-dire qu’il offre de nous payer 2 $ quand nous gagnons et nous le paierons 1$ quand nous perdrons (2 : 1), le nouveau calcul fait en sorte qu’après 100 fois, nous perdrons 50 $ (50 défaites X 1$) et nous gagnerons 100 $ (50 victoires X 2$). Après 100 essais nous aurons donc un profit de 50 $ (100$-50$). En divisant ce profit par le nombre d’essai (100) nous obtiendrons un EV de 0,50 $, ce qui signifie que nous gagnerons en moyenne 0,50 $ par tirage.
En langage mathématique comme dans la formule de l’exemple précédent :
(0.5 X 2$) – (0.5 X 1$) = (1$) – (0.5$) = 0.5 $ (par tirage)
Comme nous l’avons fait plus haut, nous pouvons transformer l’équation pour savoir à partir de quel pourcentage de victoire notre EV sera positif. Donc ici la cagnotte (le pot) nous donne du 2 : 1 (on gagne 2 et on perd 1). Nos chances de gagner si nous souhaitons avoir un EV positif doivent donc être supérieur à son inverse, 1 : 2 (donc à chaque fois que nous gagnerons 1 fois et perdrons 2 fois nous serons EV neutre). Puisque 1 : 2 (1 victoire 2 défaites) est équivalent à 1 victoire sur 3 nous pour aussi dire que nous devons gagner 33 % (1/3) du temps pour être EV neutre et plus de 33 % pour être +EV.
Dans le domaine du POKER il est rarement nécessaire de calculer le EV, nous ne cherchons en fait qu’à savoir si le jeu est EV positif. À cet effet, la dernière méthode, celle ou le pot nous donne du 2 : 1, nous permet de conclure rapidement que le pari est +EV si nos chances de gagner sont supérieur à 33 % (supérieur à 1 : 2), et comme ici elles sont à 50 % (1 : 1), nous devrions accepté avec un large sourire. Qui plus est, comme nous savons que nous sommes +EV (nous savons même ici que chaque tirage nous rapportera en moyenne 0,50 $), nous devrions être disposé à faire le maximum de tirage que l’adversaire offrira (évidemment dans les limites de son bankroll).
Il est important de noter que l’espérance mathématique n’a donc aucun lien avec le fait d’être favori (plus de 50 %) ou négligé (moins de 50 %) de gagner. Il n’est pas nécessaire d’être favori ou d’avoir 50 % (comme le pile ou face) pour avoir une espérances positive.
Le prochain exemple nous permettra de mieux comprendre cette affirmation et la mécanique complète de l’espérance mathématique (à titre de pratique calculer le vous-même avant de lire le déroulement).
Exemple 2 LE DÉ
Un « gambler » en manque d’action vous propose de lancé un dé (honnête aussi), et pour le coût de 1 $, il vous donnera 9 $ si vous gagnez (si vous avez prédit le bon chiffre). Quelle est votre EV dans ce cas ? Nous avons les 3 données nécessaires ici. Nous gagnerons 9$ contre une perte potentielle de 1 $. Comme nous savons qu’un dé à 6 côté, nous savons donc aussi que nous gagnerons 1 fois sur 6 (en effectuant l’opération de divisé 1 par 6 nous obtiendrons 0.16, soit 16 %, j’ai arrondi pour simplifier) et donc que nous perdrons 5 fois sur 6 (5 divisé par 6 égale 0.84, ou 84 %). En reprenant la formule ci haut nous pouvons donc calculer :
(0.16 X 9 $) – (0.84 X 1$) = 1.44 $ - 0.84 $ = 0.60 $.
Nous gagnerons donc en moyenne 0,60 $, soit mieux que le 0,50 $ de l’offre de 2 contre 1 du pile ou face. Le pari du dé est donc meilleur en terme de EV (c’est plus payant à long terme) que celui du pile ou face, et cela même si au pile ou face nous gagnerons 1 fois sur 2 alors qu’au dé nous ne gagnerons que 1 fois sur 6 !
Comme dans l’exemple ci haut, puisqu’en terme de POKER on ne cherche pas la valeur de EV mais seulement s’il est +EV, nous pourrions utiliser la méthode des « Pot Odds » vu plus haut pour connaître notre point de rupture (le % de victoire auquel notre pari deviendra +EV).
La cagnotte (le pot) nous donnera 9 $ si nous gagnons et nous paierons 1 $ si nous perdons. Les « pot odds » sont donc de 9 : 1, c’est-à-dire que si nous gagnons plus souvent que 1 : 9 (1 victoire 9 défaites) ou 10 % du temps (1 victoire sur 10 tentatives) notre pari sera +EV. Comme avec un dé nous savons que nous avons approximativement 16 % de chance de gagner (1 chance sur 6), nous savons donc que ce pari est +EV pour nous et devrions l’accepter.
Point majeur : La provenance de l’argent n’as aucune importance. Dans L’exemple ci haut, que ce soit le gambler fou qui paie 9 $ contre 1 $ ou que ce soit lui et 8 de ses amis qui mettent chacun 1 $, ou encore qu’un généreux donateur place 5 $ dans le pot et que le gambler complètes le 9 $ en payant 4 $ de sa poche n’a aucune espèce d’importance (pour nous, pour eux c’est leur problème). De notre point de vue, si nous pouvons gagner 9 $ et en perdre 1 $, nous avons du 9 : 1 et si tel que vu plus haut nous gagnons plus que 10 % des fois, notre pari est bon.
Exemple 3 : Le 6/49
Imaginons qu’un organisme public sans scrupule propose une loterie avec les données suivantes. Vous payez 1 $ pour la possibilité de gagner 9 999 999 $ (il n’y a pas de prix pour 5 sur 6, etc…). Comme vous êtes solide en probabilité, vous savez que votre chance de gagner le 6/6 est d’environ 1 sur 14 millions.
Donc le pot nous donne du 9 999 999 : 1. Nous pouvons donc calculer que nous devons gagner l’inverse pour être EV neutre soit 1 : 9 999 999 (ou encore 1 fois sur 10 millions). Comme notre point de rupture pour être EV neutre est de 1/10 millions et que notre probabilité de gain est de seulement 1/14 millions (donc beaucoup plus petite que ce que les « pot odds » nous offrent), nous devrions refuser ce pari.
En espérant que j’ai clarifié les choses plutôt que le contraire .
