Le modèle ICM.

• 10 juin 2007
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L’un des problèmes majeurs lié aux calculs d’équités dans un tournoi de poker est que les jetons changent de valeur au fur et à mesure que le tournoi évolue et que la valeur des tapis varie. De façon générale, dans les tournois à prix progressif, les plus courants de nos jours, les jetons ont plus de valeur dans un petit tapis que dans un grand tapis.

Si cela est bon à savoir, ce n’est bien évidemment pas suffisant pour effectuer des calculs précis. Les théoriciens ont donc cherché à développer des outils plus précis. L’un de ces outils, et celui qui est le plus utilisé actuellement dans les calculs d’équité de tournoi, est l’Independent Chip Model, ou ICM. 

L’assomption de base du modèle ICM est extrêmement simple : chaque joueur a une chance de gagner le tournoi exactement égale à la proportion des jetons qu’il détient par rapport au nombre total de jetons. Ainsi, si vous avez 50% des jetons en jeux, vous avez 50% de chances de gagner le tournoi. 

Le calcul des probabilités de terminer second est plus complexe. Vous allez tout d’abord supposer qu’un joueur particulier termine premier (avec une probabilité déjà déterminée au stade précédent). Ensuite, votre probabilité de terminer deuxième du tournoi vous sera donnée par la proportion des jetons que vous détenez une fois enlevés les jetons du premier du pool total de jetons. Effectuez cette exercice en supposant tour à tour que chacun de vos adversaires termine premier, et vous aurez  votre probabilité de terminer second.

Notez qu’il suffit en fait de choisir le vainqueur du tournoi, puis d’appliquer le calcul d’ICM de calcul du joueur terminant premier parmi les deux restants. De fait, programmer un calcul d’ICM n’est pas trop complexe puisqu’il s’agit en réalité d’un processus itératif.  

Une fois déterminée la probabilité de chaque joueur de terminer à toutes les places possibles, il suffit de multiplier ces probabilités par le prix équivalent à chacune de ces places. Vous obtiendrez ainsi l’espérance de gain de chacun des joueurs dans le tournoi.

Tout cela peut paraître fort complexe. Le plus simple est donc de prendre un exemple.

Vous jouez un Sit-and-Go qui paye 100$ au premier et 50$ au second. Il reste trois joueurs, disposant respectivement de 6000, 3000 et 1000 jetons.

Calculons tout d’abord la probabilité de chacun des joueurs de terminer premier. Le premier joueur a 60% des jetons, donc 60% de terminer premier. De même. Le joueur 2 et le joueur 3 ont respectivement 30% et 10% de gagner le tournoi.

Calculons les probabilités de terminer second. Il nous faut alors distinguer trois cas.

Cas 1 : le premier joueur termine premier (probabilité 60%).

Dans ce cas, il reste 4000 jetons en jeu, et le joueur 2 en détient 75%. Sa probabilité de terminer second est donc de 75%, contre 25% pour le Joueur 3. 

Cas 2 : Le Joueur 2 termine premier (probabilité 30%).

Il reste alors 7000 jetons en jeu, et le Joueur 1 en détient 6000, pour une chance de terminer second de 85.71%. Le joueur 3 a alors 14.29% de terminer second.

Cas 3 : Le Joueur 3 termine premier (probabilité 10%)

Il reste 9000 jetons en jeu. Le Joueur 1 terminera donc second dans 66.67% du temps, contre 33.33% pour le Joueur 3.

Au total, le joueur 1 terminera second dans 30% * 85.71% + 10% * 66.67% = 32.38% des cas.

Le joueur 2 terminera second dans 60% * 75% + 10% * 33.33% = 48.33%

Le joueur 3 terminera second dans 60% * 25% + 30% * 14.29% = 19.29%

Ce deuxième stade du calcul nous donne également les probabilités de terminer à la troisième place, respectivement 7.62%, 21.67% et 70.71% du temps.

L’équité du joueur 1 est alors simplement 60% * 100$ + 32.38% * 50% + 7.62% * 0$ = 76.19$

Des calculs similaires nous donnent l’espérance du joueur 2 et 3, respectivement 54.17$ et 19.64$.

Si vous divisez l’équité de chacun des joueurs, vous observerez qu’effectivement, plus votre tapis est modeste, et plus l’équité par jeton est élevée.

Comme vous le voyez, faire manuellement des calculs d’ICM est pénible, et impossible à effectuer à une table de poker. Heureusement, le calcul itératif est rapidement effectué par un ordinateur, et en analysant diverses situations de tournois, vous développerez un bon sens de comment la situation de tournoi peut faire varier le jeu correct par rapport à un cash-game. Dans notre prochain article, nous étudierons quelques exemples classiques dans lesquels l’Independent Chip Model nous aide à trouver la bonne décision.